פתור את {l}{45x+45y=24}{45x=90y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 45 x + 45 y = 24 } \\ { 45 x = 90 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{16}{45}\approx 0.355555556$$

$$y=\frac{8}{45}\approx 0.177777778$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎90y משני האגפים.

$$45x-90y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$45x+45y=24,45x-90y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$45x+45y=24$$

החסר ‎45y משני אגפי המשוואה.

$$45x=-45y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎45.

$$x=\frac{1}{45}\left(-45y+24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{45} ב- ‎-45y+24.

$$x=-y+\frac{8}{15}$$

השתמש ב- ‎-y+\frac{8}{15} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎45x-90y=0.

$$45\left(-y+\frac{8}{15}\right)-90y=0$$

הכפל את ‎45 ב- ‎-y+\frac{8}{15}.

$$-45y+24-90y=0$$

הוסף את ‎-45y ל- ‎-90y.

$$-135y+24=0$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$-135y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-135.

$$y=\frac{8}{45}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{45} במקום y ב- ‎x=-y+\frac{8}{15}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{8}{45}+\frac{8}{15}$$

הוסף את ‎\frac{8}{15} ל- ‎-\frac{8}{45} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{16}{45}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{45},y=\frac{8}{45}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎90y משני האגפים.

$$45x-90y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$45x+45y=24,45x-90y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}45&45\\45&-90\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}45&45\\45&-90\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}45&45\\45&-90\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45&45\\45&-90\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&45\\45&-90\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&45\\45&-90\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}45&45\\45&-90\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{90}{45\left(-90\right)-45\times 45}&-\frac{45}{45\left(-90\right)-45\times 45}\\-\frac{45}{45\left(-90\right)-45\times 45}&\frac{45}{45\left(-90\right)-45\times 45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{135}&\frac{1}{135}\\\frac{1}{135}&-\frac{1}{135}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{135}\times 24\\\frac{1}{135}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{45}\\\frac{8}{45}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{16}{45},y=\frac{8}{45}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎90y משני האגפים.

$$45x-90y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$45x+45y=24,45x-90y=0$$

החסר את ‎45x-90y=0 מ- ‎45x+45y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$45x-45x+45y+90y=24$$

הוסף את ‎45x ל- ‎-45x. האיברים ‎45x ו- ‎-45x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$45y+90y=24$$

הוסף את ‎45y ל- ‎90y.

$$135y=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎135.

$$y=\frac{8}{45}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{45} במקום y ב- ‎45x-90y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$45x-90\times \frac{8}{45}=0$$

הכפל את ‎-90 ב- ‎\frac{8}{45}.

$$45x-16=0$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$45x=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎45.

$$x=\frac{16}{45}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{45},y=\frac{8}{45}$$