פתור את {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

פתור עבור k, b

$$k=-2$$

$$b=160$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור k על-ידי בידוד k בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$44k+b=72$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$44k=-b+72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎44.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{44} ב- ‎-b+72.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{b}{44}+\frac{18}{11} במקום ‎k במשוואה השניה, ‎48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

הכפל את ‎48 ב- ‎-\frac{b}{44}+\frac{18}{11}.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

הוסף את ‎-\frac{12b}{11} ל- ‎b.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

החסר ‎\frac{864}{11} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-11.

$$b=160$$

השתמש ב- ‎160 במקום b ב- ‎k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את k ישירות.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{44} ב- ‎160.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

הוסף את ‎\frac{18}{11} ל- ‎-\frac{40}{11} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=-2,b=160$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה k ו- b.

$$k=-2,b=160$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

החסר את ‎48k+b=64 מ- ‎44k+b=72 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

הוסף את ‎b ל- ‎-b. האיברים ‎b ו- ‎-b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$44k-48k=72-64$$

הוסף את ‎44k ל- ‎-48k.

$$-4k=72-64$$

הוסף את ‎72 ל- ‎-64.

$$-4k=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$k=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום k ב- ‎48k+b=64. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

הכפל את ‎48 ב- ‎-2.

$$-96+b=64$$

הוסף ‎96 לשני אגפי המשוואה.

$$b=160$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=-2,b=160$$