פתור את {l}{4x-y=14}{6x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 14 } \\ { 6 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-y=14$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=y+14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+14\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎y+14.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{4}+\frac{7}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+y=16.

$$6\left(\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}\right)+y=16$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{y}{4}+\frac{7}{2}.

$$\frac{3}{2}y+21+y=16$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{5}{2}y+21=16$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{2}y=-5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-1+7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎-\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{4-\left(-6\right)}&\frac{4}{4-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 14+\frac{1}{10}\times 16\\-\frac{3}{5}\times 14+\frac{2}{5}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$6\times 4x+6\left(-1\right)y=6\times 14,4\times 6x+4y=4\times 16$$

פשט.

$$24x-6y=84,24x+4y=64$$

החסר את ‎24x+4y=64 מ- ‎24x-6y=84 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$24x-24x-6y-4y=84-64$$

הוסף את ‎24x ל- ‎-24x. האיברים ‎24x ו- ‎-24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-4y=84-64$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-4y.

$$-10y=84-64$$

הוסף את ‎84 ל- ‎-64.

$$-10y=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎6x+y=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-2=16$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$