פתור את {l}{4x-y=10}{3x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 10 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{28}{11} = 2\frac{6}{11} \approx 2.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-y=10$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎y+10.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{4}+\frac{5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=8.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+2y=8$$

הוסף את ‎\frac{3y}{4} ל- ‎2y.

$$\frac{11}{4}y+\frac{15}{2}=8$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{4}y=\frac{1}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{2}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{11} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{2}{11}+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎\frac{2}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{22}+\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎\frac{1}{22} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{28}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 8\\-\frac{3}{11}\times 10+\frac{4}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 10,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

פשט.

$$12x-3y=30,12x+8y=32$$

החסר את ‎12x+8y=32 מ- ‎12x-3y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-3y-8y=30-32$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-3y-8y=30-32$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎-8y.

$$-11y=30-32$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-32.

$$-11y=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=\frac{2}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{11} במקום y ב- ‎3x+2y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times \frac{2}{11}=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2}{11}.

$$3x+\frac{4}{11}=8$$

החסר ‎\frac{4}{11} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{84}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{28}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$