פתור את {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-5y=9$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=5y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎5y+9.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+9}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-4y=15.

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{5y+9}{4}.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

הוסף את ‎\frac{35y}{4} ל- ‎-4y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

החסר ‎\frac{63}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{3}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{19} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

הכפל את ‎\frac{5}{4} ב- ‎-\frac{3}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎\frac{9}{4} ל- ‎-\frac{15}{76} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{39}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

פשט.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

החסר את ‎28x-16y=60 מ- ‎28x-35y=63 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

הוסף את ‎28x ל- ‎-28x. האיברים ‎28x ו- ‎-28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-35y+16y=63-60$$

הוסף את ‎-35y ל- ‎16y.

$$-19y=63-60$$

הוסף את ‎63 ל- ‎-60.

$$-19y=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-19.

$$y=-\frac{3}{19}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{19} במקום y ב- ‎7x-4y=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{3}{19}.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

החסר ‎\frac{12}{19} משני אגפי המשוואה.

$$7x=\frac{273}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{39}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$