פתור את {l}{4x-5y=7}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x-5y=7$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$4x=5y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎5y+7.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+7}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=1.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{5y+7}{4}.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

הוסף את ‎\frac{5y}{2} ל- ‎3y.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

החסר ‎\frac{7}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{5}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{11} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

הכפל את ‎\frac{5}{4} ב- ‎-\frac{5}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

הוסף את ‎\frac{7}{4} ל- ‎-\frac{25}{44} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{13}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

פשט.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

החסר את ‎8x+12y=4 מ- ‎8x-10y=14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y-12y=14-4$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-12y.

$$-22y=14-4$$

הוסף את ‎14 ל- ‎-4.

$$-22y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{11} במקום y ב- ‎2x+3y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{5}{11}.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

הוסף ‎\frac{15}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{26}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{13}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$