פתור את {l}{4x+y=5}{2x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+y=5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=-2.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)-y=-2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-y+5}{4}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎-y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=-2$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎3.

$$x=\frac{-3+5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎-\frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$2\times 4x+2y=2\times 5,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-2\right)$$

פשט.

$$8x+2y=10,8x-4y=-8$$

החסר את ‎8x-4y=-8 מ- ‎8x+2y=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+2y+4y=10+8$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+4y=10+8$$

הוסף את ‎2y ל- ‎4y.

$$6y=10+8$$

הוסף את ‎10 ל- ‎8.

$$6y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎2x-y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-3=-2$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2},y=3$$