פתור את {l}{4x+y=3}{3x-3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 3 } \\ { 3 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

$$y=\frac{13}{15}\approx 0.866666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+y=3$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-y+3.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+3}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-3y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=-1$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y+3}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-3y=-1$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎-3y.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{4}=-1$$

החסר ‎\frac{9}{4} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{13}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{15}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{13}{15}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{15} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{13}{15}+\frac{3}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎\frac{13}{15} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{13}{60}+\frac{3}{4}$$

הוסף את ‎\frac{3}{4} ל- ‎-\frac{13}{60} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{8}{15}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{15}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{4}{15}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{15}\\\frac{13}{15}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3y=3\times 3,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-1\right)$$

פשט.

$$12x+3y=9,12x-12y=-4$$

החסר את ‎12x-12y=-4 מ- ‎12x+3y=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+3y+12y=9+4$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+12y=9+4$$

הוסף את ‎3y ל- ‎12y.

$$15y=9+4$$

הוסף את ‎9 ל- ‎4.

$$15y=13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=\frac{13}{15}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{15} במקום y ב- ‎3x-3y=-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-3\times \frac{13}{15}=-1$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{13}{15}.

$$3x-\frac{13}{5}=-1$$

הוסף ‎\frac{13}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{8}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{8}{15}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$