פתור את {l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+y=-5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-y-5.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y-5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=-14.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y-5}{4}.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎-2y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

הוסף ‎\frac{15}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{41}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{4} ב- ‎\frac{41}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{4} ל- ‎-\frac{41}{44} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{24}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

פשט.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

החסר את ‎12x-8y=-56 מ- ‎12x+3y=-15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+8y=-15+56$$

הוסף את ‎3y ל- ‎8y.

$$11y=-15+56$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎56.

$$11y=41$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=\frac{41}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{11} במקום y ב- ‎3x-2y=-14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{41}{11}.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

הוסף ‎\frac{82}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{24}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$