פתור את {l}{4x+4z=8}{5x-8z=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 4 z = 8 } \\ { 5 x - 8 z = 36 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, z

$$x=4$$

$$z=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+4z=8,5x-8z=36$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+4z=8$$

החסר ‎4z משני אגפי המשוואה.

$$4x=-4z+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-4z+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-4z+8.

$$x=-z+2$$

השתמש ב- ‎-z+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-8z=36.

$$5\left(-z+2\right)-8z=36$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-z+2.

$$-5z+10-8z=36$$

הוסף את ‎-5z ל- ‎-8z.

$$-13z+10=36$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-13z=26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$z=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום z ב- ‎x=-z+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\left(-2\right)+2$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎-2.

$$x=2+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎2.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,z=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+4z=8,5x-8z=36$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&4\\5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\36\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\36\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{4\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{4}{4\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{52}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 36\\\frac{5}{52}\times 8-\frac{1}{13}\times 36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- z.

$$x=4,z=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+4z=8,5x-8z=36$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$5\times 4x+5\times 4z=5\times 8,4\times 5x+4\left(-8\right)z=4\times 36$$

פשט.

$$20x+20z=40,20x-32z=144$$

החסר את ‎20x-32z=144 מ- ‎20x+20z=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+20z+32z=40-144$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20z+32z=40-144$$

הוסף את ‎20z ל- ‎32z.

$$52z=40-144$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-144.

$$52z=-104$$

חלק את שני האגפים ב- ‎52.

$$z=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום z ב- ‎5x-8z=36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-8\left(-2\right)=36$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-2.

$$5x+16=36$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$5x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,z=-2$$