פתור את {l}{4x+3y=26}{3x-11y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 26 } \\ { 3 x - 11 y = - 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=26$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+26$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+26\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+26.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{4}+\frac{13}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-11y=-7.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}\right)-11y=-7$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3y}{4}+\frac{13}{2}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{2}-11y=-7$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{4} ל- ‎-11y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{39}{2}=-7$$

החסר ‎\frac{39}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{53}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{53}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{13}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎2.

$$x=\frac{-3+13}{2}$$

הוסף את ‎\frac{13}{2} ל- ‎-\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{4\left(-11\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-11\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}&\frac{3}{53}\\\frac{3}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}\times 26+\frac{3}{53}\left(-7\right)\\\frac{3}{53}\times 26-\frac{4}{53}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 26,4\times 3x+4\left(-11\right)y=4\left(-7\right)$$

פשט.

$$12x+9y=78,12x-44y=-28$$

החסר את ‎12x-44y=-28 מ- ‎12x+9y=78 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+9y+44y=78+28$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+44y=78+28$$

הוסף את ‎9y ל- ‎44y.

$$53y=78+28$$

הוסף את ‎78 ל- ‎28.

$$53y=106$$

חלק את שני האגפים ב- ‎53.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎3x-11y=-7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-11\times 2=-7$$

הכפל את ‎-11 ב- ‎2.

$$3x-22=-7$$

הוסף ‎22 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=2$$