פתור את {l}{4x+3y=12.5}{3x+3y=10.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 12.5 } \\ { 3 x + 3 y = 10.5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=12.5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y+12.5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+12.5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y+12.5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+3y=10.5.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}\right)+3y=10.5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3y}{4}+\frac{25}{8}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{75}{8}+3y=10.5$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{4} ל- ‎3y.

$$\frac{3}{4}y+\frac{75}{8}=10.5$$

החסר ‎\frac{75}{8} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{4}y=\frac{9}{8}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}+\frac{25}{8}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎\frac{3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

הוסף את ‎\frac{25}{8} ל- ‎-\frac{9}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5-10.5\\-12.5+\frac{4}{3}\times 10.5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1.5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=1.5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

החסר את ‎3x+3y=10.5 מ- ‎4x+3y=12.5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-3x+3y-3y=\frac{25-21}{2}$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4x-3x=\frac{25-21}{2}$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-3x.

$$x=\frac{25-21}{2}$$

הוסף את ‎12.5 ל- ‎-10.5 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום x ב- ‎3x+3y=10.5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3\times 2+3y=10.5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6+3y=10.5$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3y=4.5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=1.5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=1.5$$