פתור את {l}{4x+3y=-7}{3x-5y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { 3 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y=-7$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y-7.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y-7}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-5y=2.

$$3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y-7}{4}.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}-5y=2$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{4} ל- ‎-5y.

$$-\frac{29}{4}y-\frac{21}{4}=2$$

הוסף ‎\frac{21}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{29}{4}y=\frac{29}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{29}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-1.

$$x=\frac{3-7}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{4} ל- ‎\frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-7\right)+\frac{3}{29}\times 2\\\frac{3}{29}\left(-7\right)-\frac{4}{29}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\left(-7\right),4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 2$$

פשט.

$$12x+9y=-21,12x-20y=8$$

החסר את ‎12x-20y=8 מ- ‎12x+9y=-21 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+9y+20y=-21-8$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+20y=-21-8$$

הוסף את ‎9y ל- ‎20y.

$$29y=-21-8$$

הוסף את ‎-21 ל- ‎-8.

$$29y=-29$$

חלק את שני האגפים ב- ‎29.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎3x-5y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-5\left(-1\right)=2$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-1.

$$3x+5=2$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-1$$