פתור את {l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+3y+14=0$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$4x+3y=-14$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-3y-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-3y-14.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+5y+16=0.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{3y}{4}-\frac{7}{2}.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

הוסף את ‎-7 ל- ‎16.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{18}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{18}{7} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{4} ב- ‎-\frac{18}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{2} ל- ‎\frac{27}{14} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{11}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

פשט.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

החסר את ‎8x+20y+64=0 מ- ‎8x+6y+28=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-20y+28-64=0$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-20y.

$$-14y+28-64=0$$

הוסף את ‎28 ל- ‎-64.

$$-14y-36=0$$

הוסף ‎36 לשני אגפי המשוואה.

$$-14y=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$y=-\frac{18}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{18}{7} במקום y ב- ‎2x+5y+16=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-\frac{18}{7}.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

הוסף את ‎-\frac{90}{7} ל- ‎16.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

החסר ‎\frac{22}{7} משני אגפי המשוואה.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{11}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$