פתור את {l}{4x+2y=6}{5y+x=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 5 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+2y=6,x+5y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+2y=6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+5y=6.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+5y=6$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}=6$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{2}y=\frac{9}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{-1+3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎-\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+2y=6,x+5y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 6-\frac{1}{9}\times 6\\-\frac{1}{18}\times 6+\frac{2}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+2y=6,x+5y=6$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x+2y=6,4x+4\times 5y=4\times 6$$

פשט.

$$4x+2y=6,4x+20y=24$$

החסר את ‎4x+20y=24 מ- ‎4x+2y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+2y-20y=6-24$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-20y=6-24$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-20y.

$$-18y=6-24$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-24.

$$-18y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x+5y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+5=6$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=1$$