פתור את {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4x+2y=25.2$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$4x=-2y+25.2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-2y+25.2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+\frac{63}{10} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

החסר ‎\frac{63}{10} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{257}{45}$$

השתמש ב- ‎\frac{257}{45} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎\frac{257}{45} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

הוסף את ‎\frac{63}{10} ל- ‎-\frac{257}{90} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{31}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

כדי להפוך את ‎4x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

פשט.

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

החסר את ‎4x+20y=128 מ- ‎4x+2y=25.2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-4x. האיברים ‎4x ו- ‎-4x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-20y=25.2-128$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-20y.

$$-18y=25.2-128$$

הוסף את ‎25.2 ל- ‎-128.

$$-18y=-102.8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-18.

$$y=\frac{257}{45}$$

השתמש ב- ‎\frac{257}{45} במקום y ב- ‎x+5y=32. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

החסר ‎\frac{257}{9} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{31}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$