פתור את {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4m+9n=-35$$

החסר ‎9n משני אגפי המשוואה.

$$4m=-9n-35$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎-9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{-9n-35}{4} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

הוסף את ‎-\frac{27n}{4} ל- ‎-8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

הוסף ‎\frac{105}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{59}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$n=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום n ב- ‎m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

הכפל את ‎-\frac{9}{4} ב- ‎-3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{35}{4} ל- ‎\frac{27}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=-2,n=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=-2,n=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

כדי להפוך את ‎4m ו- ‎3m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

פשט.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

החסר את ‎12m-32n=72 מ- ‎12m+27n=-105 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

הוסף את ‎12m ל- ‎-12m. האיברים ‎12m ו- ‎-12m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$27n+32n=-105-72$$

הוסף את ‎27n ל- ‎32n.

$$59n=-105-72$$

הוסף את ‎-105 ל- ‎-72.

$$59n=-177$$

חלק את שני האגפים ב- ‎59.

$$n=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום n ב- ‎3m-8n=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-3.

$$3m+24=18$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$3m=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$m=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=-2,n=-3$$