פתור את {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

כנס את ‎-4y ו- ‎-14y כדי לקבל ‎-18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

כנס את ‎8x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎x.

$$x-18y=-36$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$-2x-7y=-18+4$$

חבר את ‎-18 ו- ‎4 כדי לקבל ‎-14.

$$-2x-7y=-14$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-18y=-36$$

הוסף ‎18y לשני אגפי המשוואה.

$$x=18y-36$$

השתמש ב- ‎-36+18y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-36+18y.

$$-36y+72-7y=-14$$

הוסף את ‎-36y ל- ‎-7y.

$$-43y+72=-14$$

החסר ‎72 משני אגפי המשוואה.

$$-43y=-86$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-43.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=18y-36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=18\times 2-36$$

הכפל את ‎18 ב- ‎2.

$$x=36-36$$

הוסף את ‎-36 ל- ‎36.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

כנס את ‎-4y ו- ‎-14y כדי לקבל ‎-18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

כנס את ‎8x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎x.

$$x-18y=-36$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$-2x-7y=-18+4$$

חבר את ‎-18 ו- ‎4 כדי לקבל ‎-14.

$$-2x-7y=-14$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4 ב- 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -7 ב- 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

כנס את ‎-4y ו- ‎-14y כדי לקבל ‎-18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

כנס את ‎8x ו- ‎-7x כדי לקבל ‎x.

$$x-18y=-36$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את -2 ב- x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$-2x-7y=-18+4$$

חבר את ‎-18 ו- ‎4 כדי לקבל ‎-14.

$$-2x-7y=-14$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

פשט.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

החסר את ‎-2x-7y=-14 מ- ‎-2x+36y=72 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

הוסף את ‎-2x ל- ‎2x. האיברים ‎-2x ו- ‎2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36y+7y=72+14$$

הוסף את ‎36y ל- ‎7y.

$$43y=72+14$$

הוסף את ‎72 ל- ‎14.

$$43y=86$$

חלק את שני האגפים ב- ‎43.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎-2x-7y=-14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x-7\times 2=-14$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎2.

$$-2x-14=-14$$

הוסף ‎14 לשני אגפי המשוואה.

$$-2x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=2$$