פתור את {l}{4*4k+b=0}{3*6k+b=0.2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 \cdot 4 k + b = 0 } \\ { 3 \cdot 6 k + b = 0.2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור k, b

$$k=0.1$$

$$b=-1.6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור k על-ידי בידוד k בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$16k+b=0$$

החסר ‎b משני אגפי המשוואה.

$$16k=-b$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$k=\frac{1}{16}\left(-1\right)b$$

הכפל את ‎\frac{1}{16} ב- ‎-b.

$$k=-\frac{1}{16}b$$

השתמש ב- ‎-\frac{b}{16} במקום ‎k במשוואה השניה, ‎18k+b=0.2.

$$18\left(-\frac{1}{16}\right)b+b=0.2$$

הכפל את ‎18 ב- ‎-\frac{b}{16}.

$$-\frac{9}{8}b+b=0.2$$

הוסף את ‎-\frac{9b}{8} ל- ‎b.

$$-\frac{1}{8}b=0.2$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-8.

$$b=-\frac{8}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{8}{5} במקום b ב- ‎k=-\frac{1}{16}b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את k ישירות.

$$k=-\frac{1}{16}\left(-\frac{8}{5}\right)$$

הכפל את ‎-\frac{1}{16} ב- ‎-\frac{8}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k=\frac{1}{10}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=\frac{1}{10},b=-\frac{8}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&1\\18&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16-18}&-\frac{1}{16-18}\\-\frac{18}{16-18}&\frac{16}{16-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0.2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 0.2\\-8\times 0.2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\\-1.6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה k ו- b.

$$k=\frac{1}{10},b=-1.6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$16k+b=0,18k+b=0.2$$

החסר את ‎18k+b=0.2 מ- ‎16k+b=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$16k-18k+b-b=-0.2$$

הוסף את ‎b ל- ‎-b. האיברים ‎b ו- ‎-b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$16k-18k=-0.2$$

הוסף את ‎16k ל- ‎-18k.

$$-2k=-0.2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$k=\frac{1}{10}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{10} במקום k ב- ‎18k+b=0.2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$18\times \frac{1}{10}+b=0.2$$

הכפל את ‎18 ב- ‎\frac{1}{10}.

$$\frac{9}{5}+b=0.2$$

החסר ‎\frac{9}{5} משני אגפי המשוואה.

$$b=-\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$k=\frac{1}{10},b=-\frac{8}{5}$$