פתור את {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$361x+463y=-102$$

החסר ‎463y משני אגפי המשוואה.

$$361x=-463y-102$$

חלק את שני האגפים ב- ‎361.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{361} ב- ‎-463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

השתמש ב- ‎\frac{-463y-102}{361} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

הכפל את ‎463 ב- ‎\frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

הוסף את ‎-\frac{214369y}{361} ל- ‎361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

הוסף ‎\frac{47226}{361} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{84048}{361}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

הכפל את ‎-\frac{463}{361} ב- ‎-1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

הוסף את ‎-\frac{102}{361} ל- ‎\frac{463}{361} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

כדי להפוך את ‎361x ו- ‎463x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎463 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎361.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

פשט.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

החסר את ‎167143x+130321y=36822 מ- ‎167143x+214369y=-47226 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

הוסף את ‎167143x ל- ‎-167143x. האיברים ‎167143x ו- ‎-167143x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

הוסף את ‎214369y ל- ‎-130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

הוסף את ‎-47226 ל- ‎-36822.

$$84048y=-84048$$

חלק את שני האגפים ב- ‎84048.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎463x+361y=102. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

הכפל את ‎361 ב- ‎-1.

$$463x-361=102$$

הוסף ‎361 לשני אגפי המשוואה.

$$463x=463$$

חלק את שני האגפים ב- ‎463.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-1$$