פתור את {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$30x+15y=675$$

החסר ‎15y משני אגפי המשוואה.

$$30x=-15y+675$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{30} ב- ‎-15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+45}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

הכפל את ‎42 ב- ‎\frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

הוסף את ‎-21y ל- ‎20y.

$$-y+945=940$$

החסר ‎945 משני אגפי המשוואה.

$$-y=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

הוסף את ‎\frac{45}{2} ל- ‎-\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=20,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=20,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

כדי להפוך את ‎30x ו- ‎42x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎42 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

פשט.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

החסר את ‎1260x+600y=28200 מ- ‎1260x+630y=28350 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

הוסף את ‎1260x ל- ‎-1260x. האיברים ‎1260x ו- ‎-1260x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$630y-600y=28350-28200$$

הוסף את ‎630y ל- ‎-600y.

$$30y=28350-28200$$

הוסף את ‎28350 ל- ‎-28200.

$$30y=150$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎42x+20y=940. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$42x+20\times 5=940$$

הכפל את ‎20 ב- ‎5.

$$42x+100=940$$

החסר ‎100 משני אגפי המשוואה.

$$42x=840$$

חלק את שני האגפים ב- ‎42.

$$x=20$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=20,y=5$$