פתור את {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3y-7x=-9$$

הוסף ‎7x לשני אגפי המשוואה.

$$3y=7x-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

השתמש ב- ‎\frac{7x}{3}-3 במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

הוסף את ‎\frac{14x}{3} ל- ‎5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{29}{3}x=29$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{29}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎y=\frac{7}{3}x-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

הכפל את ‎\frac{7}{3} ב- ‎3.

$$y=7-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎7.

$$y=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=4,x=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=4,x=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

כדי להפוך את ‎3y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

פשט.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

החסר את ‎6y+15x=69 מ- ‎6y-14x=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-6y. האיברים ‎6y ו- ‎-6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-14x-15x=-18-69$$

הוסף את ‎-14x ל- ‎-15x.

$$-29x=-18-69$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎-69.

$$-29x=-87$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-29.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎2y+5x=23. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y+5\times 3=23$$

הכפל את ‎5 ב- ‎3.

$$2y+15=23$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$2y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=4,x=3$$