פתור את {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-4x=8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3y-4x=8$$

הוסף ‎4x לשני אגפי המשוואה.

$$3y=4x+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8+4x}{3} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

הוסף את ‎\frac{8x}{3} ל- ‎-8x.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

החסר ‎\frac{16}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{16}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=-\frac{5}{16}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{16} במקום x ב- ‎y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎\frac{4}{3} ב- ‎-\frac{5}{16} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎-\frac{5}{12} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=\frac{9}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-4x=8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎4x משני האגפים.

$$3y-4x=8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

כדי להפוך את ‎3y ו- ‎2y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

פשט.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

החסר את ‎6y-24x=21 מ- ‎6y-8x=16 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-6y. האיברים ‎6y ו- ‎-6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-8x+24x=16-21$$

הוסף את ‎-8x ל- ‎24x.

$$16x=16-21$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-21.

$$16x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$x=-\frac{5}{16}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{16} במקום x ב- ‎2y-8x=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$2y=\frac{9}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=\frac{9}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$