פתור את {l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=6$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{3}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+\frac{1}{3}y=8.

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{y}{3}+2.

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎\frac{y}{3}.

$$y+4=8$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎4.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

פשט.

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

החסר את ‎6x+y=24 מ- ‎6x-2y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-y=12-24$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-y.

$$-3y=12-24$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-24.

$$-3y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎2x+\frac{1}{3}y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎4.

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{20}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{10}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$