פתור את {l}{3x-y=19}{2x+7y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=19$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+19.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{19+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+7y=5.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{19+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎7y.

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

החסר ‎\frac{38}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{23}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

הוסף את ‎\frac{19}{3} ל- ‎-\frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

פשט.

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

החסר את ‎6x+21y=15 מ- ‎6x-2y=38 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-21y=38-15$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-21y.

$$-23y=38-15$$

הוסף את ‎38 ל- ‎-15.

$$-23y=23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-23.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎2x+7y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-1.

$$2x-7=5$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-1$$