פתור את {l}{3x-y=11}{5x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=11$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+11.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{11+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+3y=9.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+3y=9$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{11+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{55}{3}+3y=9$$

הוסף את ‎\frac{5y}{3} ל- ‎3y.

$$\frac{14}{3}y+\frac{55}{3}=9$$

החסר ‎\frac{55}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{14}{3}y=-\frac{28}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{14}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{11}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-2+11}{3}$$

הוסף את ‎\frac{11}{3} ל- ‎-\frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\times 3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\-\frac{5}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 11+\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{5}{14}\times 11+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 11,3\times 5x+3\times 3y=3\times 9$$

פשט.

$$15x-5y=55,15x+9y=27$$

החסר את ‎15x+9y=27 מ- ‎15x-5y=55 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-5y-9y=55-27$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y-9y=55-27$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-9y.

$$-14y=55-27$$

הוסף את ‎55 ל- ‎-27.

$$-14y=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎5x+3y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+3\left(-2\right)=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2.

$$5x-6=9$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-2$$