פתור את {l}{3x-y=1}{5x-3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 1 } \\ { 5 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=1$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y+1.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{1+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-3y=1.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=1$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{1+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-3y=1$$

הוסף את ‎\frac{5y}{3} ל- ‎-3y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}=1$$

החסר ‎\frac{5}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{4}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎\frac{1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎\frac{1}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3-1}{4}\\\frac{5-3}{4}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5,3\times 5x+3\left(-3\right)y=3$$

פשט.

$$15x-5y=5,15x-9y=3$$

החסר את ‎15x-9y=3 מ- ‎15x-5y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-5y+9y=5-3$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-5y+9y=5-3$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎9y.

$$4y=5-3$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-3.

$$4y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום y ב- ‎5x-3y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-3\times \frac{1}{2}=1$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{1}{2}.

$$5x-\frac{3}{2}=1$$

הוסף ‎\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{5}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$