פתור את {l}{3x-y=-1}{-x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = - 1 } \\ { - x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-y=-1$$

הוסף ‎y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎y-1.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-1+y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+2y=7.

$$-\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=7$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{-1+y}{3}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+2y=7$$

הוסף את ‎-\frac{y}{3} ל- ‎2y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=7$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎4.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 7\\\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-y=-1,-x+2y=7$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-3x-\left(-y\right)=-\left(-1\right),3\left(-1\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

פשט.

$$-3x+y=1,-3x+6y=21$$

החסר את ‎-3x+6y=21 מ- ‎-3x+y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-3x+3x+y-6y=1-21$$

הוסף את ‎-3x ל- ‎3x. האיברים ‎-3x ו- ‎3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-6y=1-21$$

הוסף את ‎y ל- ‎-6y.

$$-5y=1-21$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-21.

$$-5y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום y ב- ‎-x+2y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+2\times 4=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$-x+8=7$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$-x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=4$$