פתור את {l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-8y=9$$

הוסף ‎8y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=8y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎8y+9.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

השתמש ב- ‎\frac{8y}{3}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{8y}{3}+3.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

הוסף את ‎\frac{32y}{3} ל- ‎3y.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{41}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{66}{41}$$

השתמש ב- ‎-\frac{66}{41} במקום y ב- ‎x=\frac{8}{3}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

הכפל את ‎\frac{8}{3} ב- ‎-\frac{66}{41} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-\frac{176}{41}.

$$x=-\frac{53}{41}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

פשט.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

החסר את ‎12x+9y=-30 מ- ‎12x-32y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-32y-9y=36+30$$

הוסף את ‎-32y ל- ‎-9y.

$$-41y=36+30$$

הוסף את ‎36 ל- ‎30.

$$-41y=66$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-41.

$$y=-\frac{66}{41}$$

השתמש ב- ‎-\frac{66}{41} במקום y ב- ‎4x+3y=-10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{66}{41}.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

הוסף ‎\frac{198}{41} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-\frac{53}{41}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$