פתור את {l}{3x-8y=-13}{5y+2x=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = - 13 } \\ { 5 y + 2 x = - 19 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-7$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-8y=-13$$

הוסף ‎8y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=8y-13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y-13\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎8y-13.

$$x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8y-13}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+5y=-19.

$$2\left(\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}\right)+5y=-19$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{8y-13}{3}.

$$\frac{16}{3}y-\frac{26}{3}+5y=-19$$

הוסף את ‎\frac{16y}{3} ל- ‎5y.

$$\frac{31}{3}y-\frac{26}{3}=-19$$

הוסף ‎\frac{26}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{31}{3}y=-\frac{31}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{31}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{8}{3}\left(-1\right)-\frac{13}{3}$$

הכפל את ‎\frac{8}{3} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-8-13}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{13}{3} ל- ‎-\frac{8}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{8}{31}\\-\frac{2}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\left(-13\right)+\frac{8}{31}\left(-19\right)\\-\frac{2}{31}\left(-13\right)+\frac{3}{31}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-7,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-8\right)y=2\left(-13\right),3\times 2x+3\times 5y=3\left(-19\right)$$

פשט.

$$6x-16y=-26,6x+15y=-57$$

החסר את ‎6x+15y=-57 מ- ‎6x-16y=-26 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-16y-15y=-26+57$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-16y-15y=-26+57$$

הוסף את ‎-16y ל- ‎-15y.

$$-31y=-26+57$$

הוסף את ‎-26 ל- ‎57.

$$-31y=31$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-31.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎2x+5y=-19. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+5\left(-1\right)=-19$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-1.

$$2x-5=-19$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-7,y=-1$$