פתור את {l}{3x-5y=7}{4x+2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-5y=7$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=5y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎5y+7.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y+7}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+2y=5.

$$4\left(\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+2y=5$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{5y+7}{3}.

$$\frac{20}{3}y+\frac{28}{3}+2y=5$$

הוסף את ‎\frac{20y}{3} ל- ‎2y.

$$\frac{26}{3}y+\frac{28}{3}=5$$

החסר ‎\frac{28}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{26}{3}y=-\frac{13}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{26}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎-\frac{1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{7}{3}$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎-\frac{5}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{3}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 7+\frac{5}{26}\times 5\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 7,3\times 4x+3\times 2y=3\times 5$$

פשט.

$$12x-20y=28,12x+6y=15$$

החסר את ‎12x+6y=15 מ- ‎12x-20y=28 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x-20y-6y=28-15$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-20y-6y=28-15$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎-6y.

$$-26y=28-15$$

הוסף את ‎28 ל- ‎-15.

$$-26y=13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-26.

$$y=-\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{2} במקום y ב- ‎4x+2y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{1}{2}.

$$4x-1=5$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{3}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$