פתור את {l}{3x-5y=-16}{2x-2y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-5y=-16$$

הוסף ‎5y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=5y-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎5y-16.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5y-16}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-2y=-4.

$$2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)-2y=-4$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{5y-16}{3}.

$$\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}-2y=-4$$

הוסף את ‎\frac{10y}{3} ל- ‎-2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{32}{3}=-4$$

הוסף ‎\frac{32}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{4}{3}y=\frac{20}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{4}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}$$

הכפל את ‎\frac{5}{3} ב- ‎5.

$$x=\frac{25-16}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{16}{3} ל- ‎\frac{25}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{5}{4}\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{3}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

פשט.

$$6x-10y=-32,6x-6y=-12$$

החסר את ‎6x-6y=-12 מ- ‎6x-10y=-32 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-10y+6y=-32+12$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y+6y=-32+12$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎6y.

$$-4y=-32+12$$

הוסף את ‎-32 ל- ‎12.

$$-4y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎2x-2y=-4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-2\times 5=-4$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎5.

$$2x-10=-4$$

הוסף ‎10 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=5$$