פתור את {l}{3x-2y=8}{5x+8y=60}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{92}{17} = 5\frac{7}{17} \approx 5.411764706$$

$$y = \frac{70}{17} = 4\frac{2}{17} \approx 4.117647059$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=8$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎8+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{8+2y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+8y=60.

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+8y=60$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{8+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}+8y=60$$

הוסף את ‎\frac{10y}{3} ל- ‎8y.

$$\frac{34}{3}y+\frac{40}{3}=60$$

החסר ‎\frac{40}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{34}{3}y=\frac{140}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{34}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{70}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{70}{17} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{70}{17}+\frac{8}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎\frac{70}{17} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{140}{51}+\frac{8}{3}$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎\frac{140}{51} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{92}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 8+\frac{1}{17}\times 60\\-\frac{5}{34}\times 8+\frac{3}{34}\times 60\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{92}{17}\\\frac{70}{17}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 8,3\times 5x+3\times 8y=3\times 60$$

פשט.

$$15x-10y=40,15x+24y=180$$

החסר את ‎15x+24y=180 מ- ‎15x-10y=40 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-10y-24y=40-180$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-10y-24y=40-180$$

הוסף את ‎-10y ל- ‎-24y.

$$-34y=40-180$$

הוסף את ‎40 ל- ‎-180.

$$-34y=-140$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-34.

$$y=\frac{70}{17}$$

השתמש ב- ‎\frac{70}{17} במקום y ב- ‎5x+8y=60. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+8\times \frac{70}{17}=60$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{70}{17}.

$$5x+\frac{560}{17}=60$$

החסר ‎\frac{560}{17} משני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{460}{17}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{92}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$