פתור את {l}{3x-2y=7}{x+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 7 } \\ { x + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=7$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2y+7.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+7}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+3y=-5.

$$\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}+3y=-5$$

הוסף את ‎\frac{2y}{3} ל- ‎3y.

$$\frac{11}{3}y+\frac{7}{3}=-5$$

החסר ‎\frac{7}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{3}y=-\frac{22}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{7}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-4+7}{3}$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎-\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 7+\frac{2}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{3}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=7,x+3y=-5$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x-2y=7,3x+3\times 3y=3\left(-5\right)$$

פשט.

$$3x-2y=7,3x+9y=-15$$

החסר את ‎3x+9y=-15 מ- ‎3x-2y=7 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-2y-9y=7+15$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-9y=7+15$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-9y.

$$-11y=7+15$$

הוסף את ‎7 ל- ‎15.

$$-11y=22$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x+3y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+3\left(-2\right)=-5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2.

$$x-6=-5$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-2$$