פתור את {l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=5$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+5}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+4y=-9.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{2y+5}{3}.

$$-2y-5+4y=-9$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎4y.

$$2y-5=-9$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$2y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎-\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

פשט.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

החסר את ‎-9x+12y=-27 מ- ‎-9x+6y=-15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

הוסף את ‎-9x ל- ‎9x. האיברים ‎-9x ו- ‎9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-12y=-15+27$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-12y.

$$-6y=-15+27$$

הוסף את ‎-15 ל- ‎27.

$$-6y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎-3x+4y=-9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-2.

$$-3x-8=-9$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$-3x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=\frac{1}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$