פתור את {l}{3x-2y=3}{2x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 3 } \\ { 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=3$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2y+3.

$$x=\frac{2}{3}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{2y}{3}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+2y=8.

$$2\left(\frac{2}{3}y+1\right)+2y=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2y}{3}+1.

$$\frac{4}{3}y+2+2y=8$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎2y.

$$\frac{10}{3}y+2=8$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{10}{3}y=6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{10}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{5} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{9}{5}+1$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎\frac{9}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{6}{5}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{6}{5}.

$$x=\frac{11}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 3+\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5}\\\frac{9}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=3,2x+2y=8$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 3,3\times 2x+3\times 2y=3\times 8$$

פשט.

$$6x-4y=6,6x+6y=24$$

החסר את ‎6x+6y=24 מ- ‎6x-4y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-4y-6y=6-24$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-6y=6-24$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-6y.

$$-10y=6-24$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-24.

$$-10y=-18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{5} במקום y ב- ‎2x+2y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+2\times \frac{9}{5}=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{9}{5}.

$$2x+\frac{18}{5}=8$$

החסר ‎\frac{18}{5} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{22}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{11}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{5},y=\frac{9}{5}$$