פתור את {l}{3x-2y=1}{9x-5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 1 } \\ { 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=1$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x-5y=1.

$$9\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-5y=1$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{2y+1}{3}.

$$6y+3-5y=1$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-5y.

$$y+3=1$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-4+1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎-\frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-5+2}{3}\\-3+1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=1,9x-5y=1$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$9\times 3x+9\left(-2\right)y=9,3\times 9x+3\left(-5\right)y=3$$

פשט.

$$27x-18y=9,27x-15y=3$$

החסר את ‎27x-15y=3 מ- ‎27x-18y=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$27x-27x-18y+15y=9-3$$

הוסף את ‎27x ל- ‎-27x. האיברים ‎27x ו- ‎-27x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-18y+15y=9-3$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎15y.

$$-3y=9-3$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-3.

$$-3y=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום y ב- ‎9x-5y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x-5\left(-2\right)=1$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎-2.

$$9x+10=1$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$9x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-2$$