פתור את {l}{3x-2y=-3}{2x+4y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = - 3 } \\ { 2 x + 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y=-3$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

השתמש ב- ‎\frac{2y}{3}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+4y=2.

$$2\left(\frac{2}{3}y-1\right)+4y=2$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{2y}{3}-1.

$$\frac{4}{3}y-2+4y=2$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎4y.

$$\frac{16}{3}y-2=2$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{16}{3}y=4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{16}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-1$$

הכפל את ‎\frac{2}{3} ב- ‎\frac{3}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{2}-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{8}\times 2\\-\frac{1}{8}\left(-3\right)+\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y=-3,2x+4y=2$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 2$$

פשט.

$$6x-4y=-6,6x+12y=6$$

החסר את ‎6x+12y=6 מ- ‎6x-4y=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x-4y-12y=-6-6$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-12y=-6-6$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-12y.

$$-16y=-6-6$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-6.

$$-16y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-16.

$$y=\frac{3}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום y ב- ‎2x+4y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+4\times \frac{3}{4}=2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3}{4}.

$$2x+3=2$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$