פתור את {l}{3x-2y+2=6}{3x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 2 = 6 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x-2y+2=6$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$3x-2y=4$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$3x=2y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎4+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4+2y}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=4.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+2y=4$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{4+2y}{3}.

$$2y+4+2y=4$$

הוסף את ‎2y ל- ‎2y.

$$4y+4=4$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$4y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{3},y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{4}{3},y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

החסר את ‎3x+2y=4 מ- ‎3x-2y+2=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x-2y-2y+2=6-4$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-2y-2y+2=6-4$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎-2y.

$$-4y+2=6-4$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-4.

$$-4y+2=2$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎3x+2y=4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{4}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{3},y=0$$