פתור את {l}{3x+y=5}{2x-y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=5,2x-y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+5}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y=3$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=3$$

החסר ‎\frac{10}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{1}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎\frac{1}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1}{15}+\frac{5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎-\frac{1}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=5,2x-y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=5,2x-y=3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

פשט.

$$6x+2y=10,6x-3y=9$$

החסר את ‎6x-3y=9 מ- ‎6x+2y=10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+2y+3y=10-9$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y+3y=10-9$$

הוסף את ‎2y ל- ‎3y.

$$5y=10-9$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-9.

$$5y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{5} במקום y ב- ‎2x-y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-\frac{1}{5}=3$$

הוסף ‎\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{16}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{8}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{1}{5}$$