פתור את {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-22$$

$$y=77$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=11$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+11.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+11}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x-y=11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{-y+11}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

הוסף את ‎\frac{4y}{3} ל- ‎-y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

הוסף ‎\frac{44}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=77$$

השתמש ב- ‎77 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎77.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

הוסף את ‎\frac{11}{3} ל- ‎-\frac{77}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-22$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-22,y=77$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-22,y=77$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

פשט.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

החסר את ‎-12x-3y=33 מ- ‎-12x-4y=-44 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

הוסף את ‎-12x ל- ‎12x. האיברים ‎-12x ו- ‎12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y+3y=-44-33$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎3y.

$$-y=-44-33$$

הוסף את ‎-44 ל- ‎-33.

$$-y=-77$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=77$$

השתמש ב- ‎77 במקום y ב- ‎-4x-y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x-77=11$$

הוסף ‎77 לשני אגפי המשוואה.

$$-4x=88$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=-22$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-22,y=77$$