פתור את {l}{3x+y=1}{x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=1,x+2y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+2y=0.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}+2y=0$$

הוסף את ‎-\frac{y}{3} ל- ‎2y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=0$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{5}{3}y=-\frac{1}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-\frac{1}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{15}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎\frac{1}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{2}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=1,x+2y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=1,x+2y=0$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$3x+y=1,3x+3\times 2y=0$$

פשט.

$$3x+y=1,3x+6y=0$$

החסר את ‎3x+6y=0 מ- ‎3x+y=1 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+y-6y=1$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y-6y=1$$

הוסף את ‎y ל- ‎-6y.

$$-5y=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=-\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{5} במקום y ב- ‎x+2y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+2\left(-\frac{1}{5}\right)=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{1}{5}.

$$x-\frac{2}{5}=0$$

הוסף ‎\frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{5},y=-\frac{1}{5}$$