פתור את {l}{3x+9y-15=48}{-2x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 9 y - 15 = 48 } \\ { - 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+9y-15=48$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$3x+9y=63$$

החסר ‎9y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-9y+63$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9y+63\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-9y+63.

$$x=-3y+21$$

השתמש ב- ‎-3y+21 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+3y=3.

$$-2\left(-3y+21\right)+3y=3$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-3y+21.

$$6y-42+3y=3$$

הוסף את ‎6y ל- ‎3y.

$$9y-42=3$$

הוסף ‎42 לשני אגפי המשוואה.

$$9y=45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-3y+21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\times 5+21$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎5.

$$x=-15+21$$

הוסף את ‎21 ל- ‎-15.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\times 3-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 63-\frac{1}{3}\times 3\\\frac{2}{27}\times 63+\frac{1}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+9y-15=48,-2x+3y=3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-2\times 3x-2\times 9y-2\left(-15\right)=-2\times 48,3\left(-2\right)x+3\times 3y=3\times 3$$

פשט.

$$-6x-18y+30=-96,-6x+9y=9$$

החסר את ‎-6x+9y=9 מ- ‎-6x-18y+30=-96 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x-18y-9y+30=-96-9$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-18y-9y+30=-96-9$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎-9y.

$$-27y+30=-96-9$$

הוסף את ‎-96 ל- ‎-9.

$$-27y+30=-105$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$-27y=-135$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-27.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎-2x+3y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+3\times 5=3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎5.

$$-2x+15=3$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=5$$