פתור את {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+6y=24$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-6y+24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-6y+24.

$$x=-2y+8$$

השתמש ב- ‎-2y+8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎5y.

$$-13y+72=68$$

החסר ‎72 משני אגפי המשוואה.

$$-13y=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$y=\frac{4}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{13} במקום y ב- ‎x=-2y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-\frac{8}{13}.

$$x=\frac{96}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

פשט.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

החסר את ‎27x+15y=204 מ- ‎27x+54y=216 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

הוסף את ‎27x ל- ‎-27x. האיברים ‎27x ו- ‎-27x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$54y-15y=216-204$$

הוסף את ‎54y ל- ‎-15y.

$$39y=216-204$$

הוסף את ‎216 ל- ‎-204.

$$39y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎39.

$$y=\frac{4}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{13} במקום y ב- ‎9x+5y=68. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

החסר ‎\frac{20}{13} משני אגפי המשוואה.

$$9x=\frac{864}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{96}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$