פתור את {l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=4$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+4}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+4y=11.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{-5y+4}{3}.

$$5y-4+4y=11$$

הוסף את ‎5y ל- ‎4y.

$$9y-4=11$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$9y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎\frac{5}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎-\frac{25}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{13}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

פשט.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

החסר את ‎-9x+12y=33 מ- ‎-9x-15y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

הוסף את ‎-9x ל- ‎9x. האיברים ‎-9x ו- ‎9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-12y=-12-33$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-12y.

$$-27y=-12-33$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎-33.

$$-27y=-45$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-27.

$$y=\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום y ב- ‎-3x+4y=11. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{5}{3}.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

החסר ‎\frac{20}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-\frac{13}{9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$