פתור את {l}{3x+5y=1}{2x-3y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+5y=1$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-5y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+1}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-3y=0.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-5y+1}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎-3y.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

החסר ‎\frac{2}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{19}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{2}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{19} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{3} ב- ‎\frac{2}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎-\frac{10}{57} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{3}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

פשט.

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

החסר את ‎6x-9y=0 מ- ‎6x+10y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+10y+9y=2$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y+9y=2$$

הוסף את ‎10y ל- ‎9y.

$$19y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=\frac{2}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{2}{19} במקום y ב- ‎2x-3y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{2}{19}.

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

הוסף ‎\frac{6}{19} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{6}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{3}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$