פתור את {l}{3x+4y=5}{5x+5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 5 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=5$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4y+5.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4y+5}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+5y=7.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-4y+5}{3}.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{25}{3}+5y=7$$

הוסף את ‎-\frac{20y}{3} ל- ‎5y.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}=7$$

החסר ‎\frac{25}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{4}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{4}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎\frac{4}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{16}{15}+\frac{5}{3}$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎-\frac{16}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&\frac{3}{3\times 5-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{4}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+\frac{4}{5}\times 7\\5-\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 5,3\times 5x+3\times 5y=3\times 7$$

פשט.

$$15x+20y=25,15x+15y=21$$

החסר את ‎15x+15y=21 מ- ‎15x+20y=25 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+20y-15y=25-21$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$20y-15y=25-21$$

הוסף את ‎20y ל- ‎-15y.

$$5y=25-21$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-21.

$$5y=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=\frac{4}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{5} במקום y ב- ‎5x+5y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+5\times \frac{4}{5}=7$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{4}{5}.

$$5x+4=7$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$5x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$