פתור את {l}{3x+4y=-3}{4x+6y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 3 } \\ { 4 x + 6 y = - 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+4y=-3$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-4y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-4y-3.

$$x=-\frac{4}{3}y-1$$

השתמש ב- ‎-\frac{4y}{3}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+6y=-2.

$$4\left(-\frac{4}{3}y-1\right)+6y=-2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{4y}{3}-1.

$$-\frac{16}{3}y-4+6y=-2$$

הוסף את ‎-\frac{16y}{3} ל- ‎6y.

$$\frac{2}{3}y-4=-2$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{3}y=2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\times 3-1$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎3.

$$x=-4-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎-4.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 6-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-4\times 4}&\frac{3}{3\times 6-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-3\right)-2\left(-2\right)\\-2\left(-3\right)+\frac{3}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-5,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+4y=-3,4x+6y=-2$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-3\right),3\times 4x+3\times 6y=3\left(-2\right)$$

פשט.

$$12x+16y=-12,12x+18y=-6$$

החסר את ‎12x+18y=-6 מ- ‎12x+16y=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+16y-18y=-12+6$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$16y-18y=-12+6$$

הוסף את ‎16y ל- ‎-18y.

$$-2y=-12+6$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎6.

$$-2y=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎4x+6y=-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+6\times 3=-2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎3.

$$4x+18=-2$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$4x=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-5,y=3$$