פתור את {l}{3x+2y=17}{5x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 17 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

$$y = \frac{79}{13} = 6\frac{1}{13} \approx 6.076923077$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=17$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+17.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+17}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-y=2.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}\right)-y=2$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-2y+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{85}{3}-y=2$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎-y.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{85}{3}=2$$

החסר ‎\frac{85}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{79}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{79}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{79}{13} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{79}{13}+\frac{17}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{79}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{158}{39}+\frac{17}{3}$$

הוסף את ‎\frac{17}{3} ל- ‎-\frac{158}{39} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{21}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 17+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{13}\\\frac{79}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 17,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

פשט.

$$15x+10y=85,15x-3y=6$$

החסר את ‎15x-3y=6 מ- ‎15x+10y=85 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+10y+3y=85-6$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y+3y=85-6$$

הוסף את ‎10y ל- ‎3y.

$$13y=85-6$$

הוסף את ‎85 ל- ‎-6.

$$13y=79$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=\frac{79}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{79}{13} במקום y ב- ‎5x-y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-\frac{79}{13}=2$$

הוסף ‎\frac{79}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$5x=\frac{105}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{21}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$