פתור את {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2k$$

$$y=5k$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+2y=16k$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-2y+16k$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-2y+16k.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+16k}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-4y=-10k.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-2y+16k}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

הוסף את ‎-\frac{10y}{3} ל- ‎-4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

החסר ‎\frac{80k}{3} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{22}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5k$$

השתמש ב- ‎5k במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎5k.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

הוסף את ‎\frac{16k}{3} ל- ‎-\frac{10k}{3}.

$$x=2k$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2k,y=5k$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2k,y=5k$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

פשט.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

החסר את ‎15x-12y=-30k מ- ‎15x+10y=80k על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y+12y=80k+30k$$

הוסף את ‎10y ל- ‎12y.

$$22y=80k+30k$$

הוסף את ‎80k ל- ‎30k.

$$22y=110k$$

חלק את שני האגפים ב- ‎22.

$$y=5k$$

השתמש ב- ‎5k במקום y ב- ‎5x-4y=-10k. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5k.

$$5x-20k=-10k$$

הוסף ‎20k לשני אגפי המשוואה.

$$5x=10k$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=2k$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2k,y=5k$$